3.140 \(\int \cos (a+b x) \csc ^5(2 a+2 b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=89 \[ \frac{35 \sec ^3(a+b x)}{768 b}+\frac{35 \sec (a+b x)}{256 b}-\frac{35 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{256 b}-\frac{\csc ^4(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{128 b}-\frac{7 \csc ^2(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{256 b} \]

[Out]

(-35*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(256*b) + (35*Sec[a + b*x])/(256*b) + (35*Sec[a + b*x]^3)/(768*b) - (7*Csc[a + b*x
]^2*Sec[a + b*x]^3)/(256*b) - (Csc[a + b*x]^4*Sec[a + b*x]^3)/(128*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0672624, antiderivative size = 89, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 5, integrand size = 18, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.278, Rules used = {4287, 2622, 288, 302, 207} \[ \frac{35 \sec ^3(a+b x)}{768 b}+\frac{35 \sec (a+b x)}{256 b}-\frac{35 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{256 b}-\frac{\csc ^4(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{128 b}-\frac{7 \csc ^2(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{256 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cos[a + b*x]*Csc[2*a + 2*b*x]^5,x]

[Out]

(-35*ArcTanh[Cos[a + b*x]])/(256*b) + (35*Sec[a + b*x])/(256*b) + (35*Sec[a + b*x]^3)/(768*b) - (7*Csc[a + b*x
]^2*Sec[a + b*x]^3)/(256*b) - (Csc[a + b*x]^4*Sec[a + b*x]^3)/(128*b)

Rule 4287

Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Dist[2^p/e^p, Int[(e*Cos
[a + b*x])^(m + p)*Sin[a + b*x]^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2]
&& IntegerQ[p]

Rule 2622

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[1/(f*a^n), Subst[Int
[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Sec[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n
+ 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 288

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^
n)^(p + 1))/(b*n*(p + 1)), x] - Dist[(c^n*(m - n + 1))/(b*n*(p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1), x
], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m + 1, n] &&  !ILtQ[(m + n*(p + 1) + 1)/n, 0]
&& IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

Rule 302

Int[(x_)^(m_)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Int[PolynomialDivide[x^m, a + b*x^n, x], x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, 2*n - 1]

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \cos (a+b x) \csc ^5(2 a+2 b x) \, dx &=\frac{1}{32} \int \csc ^5(a+b x) \sec ^4(a+b x) \, dx\\ &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^8}{\left (-1+x^2\right )^3} \, dx,x,\sec (a+b x)\right )}{32 b}\\ &=-\frac{\csc ^4(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{128 b}+\frac{7 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^6}{\left (-1+x^2\right )^2} \, dx,x,\sec (a+b x)\right )}{128 b}\\ &=-\frac{7 \csc ^2(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{256 b}-\frac{\csc ^4(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{128 b}+\frac{35 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^4}{-1+x^2} \, dx,x,\sec (a+b x)\right )}{256 b}\\ &=-\frac{7 \csc ^2(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{256 b}-\frac{\csc ^4(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{128 b}+\frac{35 \operatorname{Subst}\left (\int \left (1+x^2+\frac{1}{-1+x^2}\right ) \, dx,x,\sec (a+b x)\right )}{256 b}\\ &=\frac{35 \sec (a+b x)}{256 b}+\frac{35 \sec ^3(a+b x)}{768 b}-\frac{7 \csc ^2(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{256 b}-\frac{\csc ^4(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{128 b}+\frac{35 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1+x^2} \, dx,x,\sec (a+b x)\right )}{256 b}\\ &=-\frac{35 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{256 b}+\frac{35 \sec (a+b x)}{256 b}+\frac{35 \sec ^3(a+b x)}{768 b}-\frac{7 \csc ^2(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{256 b}-\frac{\csc ^4(a+b x) \sec ^3(a+b x)}{128 b}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 0.48933, size = 268, normalized size = 3.01 \[ -\frac{\csc ^{10}(a+b x) \left (658 \cos (2 (a+b x))-228 \cos (3 (a+b x))+140 \cos (4 (a+b x))-76 \cos (5 (a+b x))-210 \cos (6 (a+b x))+76 \cos (7 (a+b x))-315 \cos (3 (a+b x)) \log \left (\cos \left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )-105 \cos (5 (a+b x)) \log \left (\cos \left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )+105 \cos (7 (a+b x)) \log \left (\cos \left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )+3 \cos (a+b x) \left (-105 \log \left (\sin \left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )+105 \log \left (\cos \left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )+76\right )+315 \cos (3 (a+b x)) \log \left (\sin \left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )+105 \cos (5 (a+b x)) \log \left (\sin \left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )-105 \cos (7 (a+b x)) \log \left (\sin \left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )-204\right )}{768 b \left (\csc ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )-\sec ^2\left (\frac{1}{2} (a+b x)\right )\right )^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Cos[a + b*x]*Csc[2*a + 2*b*x]^5,x]

[Out]

-(Csc[a + b*x]^10*(-204 + 658*Cos[2*(a + b*x)] - 228*Cos[3*(a + b*x)] + 140*Cos[4*(a + b*x)] - 76*Cos[5*(a + b
*x)] - 210*Cos[6*(a + b*x)] + 76*Cos[7*(a + b*x)] - 315*Cos[3*(a + b*x)]*Log[Cos[(a + b*x)/2]] - 105*Cos[5*(a
+ b*x)]*Log[Cos[(a + b*x)/2]] + 105*Cos[7*(a + b*x)]*Log[Cos[(a + b*x)/2]] + 3*Cos[a + b*x]*(76 + 105*Log[Cos[
(a + b*x)/2]] - 105*Log[Sin[(a + b*x)/2]]) + 315*Cos[3*(a + b*x)]*Log[Sin[(a + b*x)/2]] + 105*Cos[5*(a + b*x)]
*Log[Sin[(a + b*x)/2]] - 105*Cos[7*(a + b*x)]*Log[Sin[(a + b*x)/2]]))/(768*b*(Csc[(a + b*x)/2]^2 - Sec[(a + b*
x)/2]^2)^3)

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.032, size = 99, normalized size = 1.1 \begin{align*} -{\frac{1}{128\,b \left ( \sin \left ( bx+a \right ) \right ) ^{4} \left ( \cos \left ( bx+a \right ) \right ) ^{3}}}+{\frac{7}{384\,b \left ( \sin \left ( bx+a \right ) \right ) ^{2} \left ( \cos \left ( bx+a \right ) \right ) ^{3}}}-{\frac{35}{768\,b \left ( \sin \left ( bx+a \right ) \right ) ^{2}\cos \left ( bx+a \right ) }}+{\frac{35}{256\,b\cos \left ( bx+a \right ) }}+{\frac{35\,\ln \left ( \csc \left ( bx+a \right ) -\cot \left ( bx+a \right ) \right ) }{256\,b}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(b*x+a)/sin(2*b*x+2*a)^5,x)

[Out]

-1/128/b/sin(b*x+a)^4/cos(b*x+a)^3+7/384/b/sin(b*x+a)^2/cos(b*x+a)^3-35/768/b/sin(b*x+a)^2/cos(b*x+a)+35/256/b
/cos(b*x+a)+35/256/b*ln(csc(b*x+a)-cot(b*x+a))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.86288, size = 5192, normalized size = 58.34 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(b*x+a)/sin(2*b*x+2*a)^5,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/1536*(4*(105*cos(13*b*x + 13*a) - 70*cos(11*b*x + 11*a) - 329*cos(9*b*x + 9*a) + 204*cos(7*b*x + 7*a) - 329*
cos(5*b*x + 5*a) - 70*cos(3*b*x + 3*a) + 105*cos(b*x + a))*cos(14*b*x + 14*a) - 420*(cos(12*b*x + 12*a) + 3*co
s(10*b*x + 10*a) - 3*cos(8*b*x + 8*a) - 3*cos(6*b*x + 6*a) + 3*cos(4*b*x + 4*a) + cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(13
*b*x + 13*a) + 4*(70*cos(11*b*x + 11*a) + 329*cos(9*b*x + 9*a) - 204*cos(7*b*x + 7*a) + 329*cos(5*b*x + 5*a) +
70*cos(3*b*x + 3*a) - 105*cos(b*x + a))*cos(12*b*x + 12*a) + 280*(3*cos(10*b*x + 10*a) - 3*cos(8*b*x + 8*a) -
3*cos(6*b*x + 6*a) + 3*cos(4*b*x + 4*a) + cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(11*b*x + 11*a) + 12*(329*cos(9*b*x + 9*a)
- 204*cos(7*b*x + 7*a) + 329*cos(5*b*x + 5*a) + 70*cos(3*b*x + 3*a) - 105*cos(b*x + a))*cos(10*b*x + 10*a) -
1316*(3*cos(8*b*x + 8*a) + 3*cos(6*b*x + 6*a) - 3*cos(4*b*x + 4*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(9*b*x + 9*a) +
12*(204*cos(7*b*x + 7*a) - 329*cos(5*b*x + 5*a) - 70*cos(3*b*x + 3*a) + 105*cos(b*x + a))*cos(8*b*x + 8*a) + 8
16*(3*cos(6*b*x + 6*a) - 3*cos(4*b*x + 4*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(7*b*x + 7*a) - 84*(47*cos(5*b*x + 5*a)
+ 10*cos(3*b*x + 3*a) - 15*cos(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) + 1316*(3*cos(4*b*x + 4*a) + cos(2*b*x + 2*a) - 1)*
cos(5*b*x + 5*a) + 420*(2*cos(3*b*x + 3*a) - 3*cos(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 280*(cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos
(3*b*x + 3*a) - 420*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + 105*(2*(cos(12*b*x + 12*a) + 3*cos(10*b*x + 10*a) - 3*cos(
8*b*x + 8*a) - 3*cos(6*b*x + 6*a) + 3*cos(4*b*x + 4*a) + cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(14*b*x + 14*a) - cos(14*b*x
+ 14*a)^2 - 2*(3*cos(10*b*x + 10*a) - 3*cos(8*b*x + 8*a) - 3*cos(6*b*x + 6*a) + 3*cos(4*b*x + 4*a) + cos(2*b*
x + 2*a) - 1)*cos(12*b*x + 12*a) - cos(12*b*x + 12*a)^2 + 6*(3*cos(8*b*x + 8*a) + 3*cos(6*b*x + 6*a) - 3*cos(4
*b*x + 4*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(10*b*x + 10*a) - 9*cos(10*b*x + 10*a)^2 - 6*(3*cos(6*b*x + 6*a) - 3*co
s(4*b*x + 4*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(8*b*x + 8*a) - 9*cos(8*b*x + 8*a)^2 + 6*(3*cos(4*b*x + 4*a) + cos(2
*b*x + 2*a) - 1)*cos(6*b*x + 6*a) - 9*cos(6*b*x + 6*a)^2 - 6*(cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - 9*cos(4
*b*x + 4*a)^2 - cos(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(sin(12*b*x + 12*a) + 3*sin(10*b*x + 10*a) - 3*sin(8*b*x + 8*a) - 3*sin
(6*b*x + 6*a) + 3*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*sin(14*b*x + 14*a) - sin(14*b*x + 14*a)^2 - 2*(3*sin(10
*b*x + 10*a) - 3*sin(8*b*x + 8*a) - 3*sin(6*b*x + 6*a) + 3*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*sin(12*b*x + 1
2*a) - sin(12*b*x + 12*a)^2 + 6*(3*sin(8*b*x + 8*a) + 3*sin(6*b*x + 6*a) - 3*sin(4*b*x + 4*a) - sin(2*b*x + 2*
a))*sin(10*b*x + 10*a) - 9*sin(10*b*x + 10*a)^2 - 6*(3*sin(6*b*x + 6*a) - 3*sin(4*b*x + 4*a) - sin(2*b*x + 2*a
))*sin(8*b*x + 8*a) - 9*sin(8*b*x + 8*a)^2 + 6*(3*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*sin(6*b*x + 6*a) - 9*si
n(6*b*x + 6*a)^2 - 9*sin(4*b*x + 4*a)^2 - 6*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b
*x + 2*a) - 1)*log(cos(b*x)^2 + 2*cos(b*x)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(b*x)^2 - 2*sin(b*x)*sin(a) + sin(a)^2) - 10
5*(2*(cos(12*b*x + 12*a) + 3*cos(10*b*x + 10*a) - 3*cos(8*b*x + 8*a) - 3*cos(6*b*x + 6*a) + 3*cos(4*b*x + 4*a)
+ cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(14*b*x + 14*a) - cos(14*b*x + 14*a)^2 - 2*(3*cos(10*b*x + 10*a) - 3*cos(8*b*x + 8
*a) - 3*cos(6*b*x + 6*a) + 3*cos(4*b*x + 4*a) + cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(12*b*x + 12*a) - cos(12*b*x + 12*a)^
2 + 6*(3*cos(8*b*x + 8*a) + 3*cos(6*b*x + 6*a) - 3*cos(4*b*x + 4*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(10*b*x + 10*a)
- 9*cos(10*b*x + 10*a)^2 - 6*(3*cos(6*b*x + 6*a) - 3*cos(4*b*x + 4*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(8*b*x + 8*a
) - 9*cos(8*b*x + 8*a)^2 + 6*(3*cos(4*b*x + 4*a) + cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(6*b*x + 6*a) - 9*cos(6*b*x + 6*a)
^2 - 6*(cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - 9*cos(4*b*x + 4*a)^2 - cos(2*b*x + 2*a)^2 + 2*(sin(12*b*x + 1
2*a) + 3*sin(10*b*x + 10*a) - 3*sin(8*b*x + 8*a) - 3*sin(6*b*x + 6*a) + 3*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))
*sin(14*b*x + 14*a) - sin(14*b*x + 14*a)^2 - 2*(3*sin(10*b*x + 10*a) - 3*sin(8*b*x + 8*a) - 3*sin(6*b*x + 6*a)
+ 3*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*sin(12*b*x + 12*a) - sin(12*b*x + 12*a)^2 + 6*(3*sin(8*b*x + 8*a) +
3*sin(6*b*x + 6*a) - 3*sin(4*b*x + 4*a) - sin(2*b*x + 2*a))*sin(10*b*x + 10*a) - 9*sin(10*b*x + 10*a)^2 - 6*(3
*sin(6*b*x + 6*a) - 3*sin(4*b*x + 4*a) - sin(2*b*x + 2*a))*sin(8*b*x + 8*a) - 9*sin(8*b*x + 8*a)^2 + 6*(3*sin(
4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*sin(6*b*x + 6*a) - 9*sin(6*b*x + 6*a)^2 - 9*sin(4*b*x + 4*a)^2 - 6*sin(4*b*x
+ 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*log(cos(b*x)^2 - 2*cos(b*x)*cos(a) + co
s(a)^2 + sin(b*x)^2 + 2*sin(b*x)*sin(a) + sin(a)^2) + 4*(105*sin(13*b*x + 13*a) - 70*sin(11*b*x + 11*a) - 329*
sin(9*b*x + 9*a) + 204*sin(7*b*x + 7*a) - 329*sin(5*b*x + 5*a) - 70*sin(3*b*x + 3*a) + 105*sin(b*x + a))*sin(1
4*b*x + 14*a) - 420*(sin(12*b*x + 12*a) + 3*sin(10*b*x + 10*a) - 3*sin(8*b*x + 8*a) - 3*sin(6*b*x + 6*a) + 3*s
in(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*sin(13*b*x + 13*a) + 4*(70*sin(11*b*x + 11*a) + 329*sin(9*b*x + 9*a) - 204
*sin(7*b*x + 7*a) + 329*sin(5*b*x + 5*a) + 70*sin(3*b*x + 3*a) - 105*sin(b*x + a))*sin(12*b*x + 12*a) + 280*(3
*sin(10*b*x + 10*a) - 3*sin(8*b*x + 8*a) - 3*sin(6*b*x + 6*a) + 3*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*sin(11*
b*x + 11*a) + 12*(329*sin(9*b*x + 9*a) - 204*sin(7*b*x + 7*a) + 329*sin(5*b*x + 5*a) + 70*sin(3*b*x + 3*a) - 1
05*sin(b*x + a))*sin(10*b*x + 10*a) - 1316*(3*sin(8*b*x + 8*a) + 3*sin(6*b*x + 6*a) - 3*sin(4*b*x + 4*a) - sin
(2*b*x + 2*a))*sin(9*b*x + 9*a) + 12*(204*sin(7*b*x + 7*a) - 329*sin(5*b*x + 5*a) - 70*sin(3*b*x + 3*a) + 105*
sin(b*x + a))*sin(8*b*x + 8*a) + 816*(3*sin(6*b*x + 6*a) - 3*sin(4*b*x + 4*a) - sin(2*b*x + 2*a))*sin(7*b*x +
7*a) - 84*(47*sin(5*b*x + 5*a) + 10*sin(3*b*x + 3*a) - 15*sin(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) + 1316*(3*sin(4*b*x +
4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*sin(5*b*x + 5*a) + 420*(2*sin(3*b*x + 3*a) - 3*sin(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 280*
sin(3*b*x + 3*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 420*sin(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + 420*cos(b*x + a))/(b*cos(14*b*x + 14*a
)^2 + b*cos(12*b*x + 12*a)^2 + 9*b*cos(10*b*x + 10*a)^2 + 9*b*cos(8*b*x + 8*a)^2 + 9*b*cos(6*b*x + 6*a)^2 + 9*
b*cos(4*b*x + 4*a)^2 + b*cos(2*b*x + 2*a)^2 + b*sin(14*b*x + 14*a)^2 + b*sin(12*b*x + 12*a)^2 + 9*b*sin(10*b*x
+ 10*a)^2 + 9*b*sin(8*b*x + 8*a)^2 + 9*b*sin(6*b*x + 6*a)^2 + 9*b*sin(4*b*x + 4*a)^2 + 6*b*sin(4*b*x + 4*a)*s
in(2*b*x + 2*a) + b*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(b*cos(12*b*x + 12*a) + 3*b*cos(10*b*x + 10*a) - 3*b*cos(8*b*x + 8*
a) - 3*b*cos(6*b*x + 6*a) + 3*b*cos(4*b*x + 4*a) + b*cos(2*b*x + 2*a) - b)*cos(14*b*x + 14*a) + 2*(3*b*cos(10*
b*x + 10*a) - 3*b*cos(8*b*x + 8*a) - 3*b*cos(6*b*x + 6*a) + 3*b*cos(4*b*x + 4*a) + b*cos(2*b*x + 2*a) - b)*cos
(12*b*x + 12*a) - 6*(3*b*cos(8*b*x + 8*a) + 3*b*cos(6*b*x + 6*a) - 3*b*cos(4*b*x + 4*a) - b*cos(2*b*x + 2*a) +
b)*cos(10*b*x + 10*a) + 6*(3*b*cos(6*b*x + 6*a) - 3*b*cos(4*b*x + 4*a) - b*cos(2*b*x + 2*a) + b)*cos(8*b*x +
8*a) - 6*(3*b*cos(4*b*x + 4*a) + b*cos(2*b*x + 2*a) - b)*cos(6*b*x + 6*a) + 6*(b*cos(2*b*x + 2*a) - b)*cos(4*b
*x + 4*a) - 2*b*cos(2*b*x + 2*a) - 2*(b*sin(12*b*x + 12*a) + 3*b*sin(10*b*x + 10*a) - 3*b*sin(8*b*x + 8*a) - 3
*b*sin(6*b*x + 6*a) + 3*b*sin(4*b*x + 4*a) + b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(14*b*x + 14*a) + 2*(3*b*sin(10*b*x + 10*a
) - 3*b*sin(8*b*x + 8*a) - 3*b*sin(6*b*x + 6*a) + 3*b*sin(4*b*x + 4*a) + b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(12*b*x + 12*a
) - 6*(3*b*sin(8*b*x + 8*a) + 3*b*sin(6*b*x + 6*a) - 3*b*sin(4*b*x + 4*a) - b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(10*b*x + 1
0*a) + 6*(3*b*sin(6*b*x + 6*a) - 3*b*sin(4*b*x + 4*a) - b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(8*b*x + 8*a) - 6*(3*b*sin(4*b*
x + 4*a) + b*sin(2*b*x + 2*a))*sin(6*b*x + 6*a) + b)

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 0.518971, size = 419, normalized size = 4.71 \begin{align*} \frac{210 \, \cos \left (b x + a\right )^{6} - 350 \, \cos \left (b x + a\right )^{4} + 112 \, \cos \left (b x + a\right )^{2} - 105 \,{\left (\cos \left (b x + a\right )^{7} - 2 \, \cos \left (b x + a\right )^{5} + \cos \left (b x + a\right )^{3}\right )} \log \left (\frac{1}{2} \, \cos \left (b x + a\right ) + \frac{1}{2}\right ) + 105 \,{\left (\cos \left (b x + a\right )^{7} - 2 \, \cos \left (b x + a\right )^{5} + \cos \left (b x + a\right )^{3}\right )} \log \left (-\frac{1}{2} \, \cos \left (b x + a\right ) + \frac{1}{2}\right ) + 16}{1536 \,{\left (b \cos \left (b x + a\right )^{7} - 2 \, b \cos \left (b x + a\right )^{5} + b \cos \left (b x + a\right )^{3}\right )}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(b*x+a)/sin(2*b*x+2*a)^5,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/1536*(210*cos(b*x + a)^6 - 350*cos(b*x + a)^4 + 112*cos(b*x + a)^2 - 105*(cos(b*x + a)^7 - 2*cos(b*x + a)^5
+ cos(b*x + a)^3)*log(1/2*cos(b*x + a) + 1/2) + 105*(cos(b*x + a)^7 - 2*cos(b*x + a)^5 + cos(b*x + a)^3)*log(-
1/2*cos(b*x + a) + 1/2) + 16)/(b*cos(b*x + a)^7 - 2*b*cos(b*x + a)^5 + b*cos(b*x + a)^3)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(b*x+a)/sin(2*b*x+2*a)**5,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.34766, size = 282, normalized size = 3.17 \begin{align*} \frac{\frac{3 \,{\left (\frac{24 \,{\left (\cos \left (b x + a\right ) - 1\right )}}{\cos \left (b x + a\right ) + 1} - \frac{210 \,{\left (\cos \left (b x + a\right ) - 1\right )}^{2}}{{\left (\cos \left (b x + a\right ) + 1\right )}^{2}} - 1\right )}{\left (\cos \left (b x + a\right ) + 1\right )}^{2}}{{\left (\cos \left (b x + a\right ) - 1\right )}^{2}} - \frac{72 \,{\left (\cos \left (b x + a\right ) - 1\right )}}{\cos \left (b x + a\right ) + 1} + \frac{3 \,{\left (\cos \left (b x + a\right ) - 1\right )}^{2}}{{\left (\cos \left (b x + a\right ) + 1\right )}^{2}} + \frac{256 \,{\left (\frac{9 \,{\left (\cos \left (b x + a\right ) - 1\right )}}{\cos \left (b x + a\right ) + 1} + \frac{6 \,{\left (\cos \left (b x + a\right ) - 1\right )}^{2}}{{\left (\cos \left (b x + a\right ) + 1\right )}^{2}} + 5\right )}}{{\left (\frac{\cos \left (b x + a\right ) - 1}{\cos \left (b x + a\right ) + 1} + 1\right )}^{3}} + 420 \, \log \left (\frac{{\left | -\cos \left (b x + a\right ) + 1 \right |}}{{\left | \cos \left (b x + a\right ) + 1 \right |}}\right )}{6144 \, b} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(b*x+a)/sin(2*b*x+2*a)^5,x, algorithm="giac")

[Out]

1/6144*(3*(24*(cos(b*x + a) - 1)/(cos(b*x + a) + 1) - 210*(cos(b*x + a) - 1)^2/(cos(b*x + a) + 1)^2 - 1)*(cos(
b*x + a) + 1)^2/(cos(b*x + a) - 1)^2 - 72*(cos(b*x + a) - 1)/(cos(b*x + a) + 1) + 3*(cos(b*x + a) - 1)^2/(cos(
b*x + a) + 1)^2 + 256*(9*(cos(b*x + a) - 1)/(cos(b*x + a) + 1) + 6*(cos(b*x + a) - 1)^2/(cos(b*x + a) + 1)^2 +
5)/((cos(b*x + a) - 1)/(cos(b*x + a) + 1) + 1)^3 + 420*log(abs(-cos(b*x + a) + 1)/abs(cos(b*x + a) + 1)))/b